Aufbrechen des Binomialmodells für eine Option In der Finanzwelt sind die Black-Scholes und die binomischen Optionsmodelle der Bewertung zwei der wichtigsten Konzepte der modernen Finanztheorie. Beide werden verwendet, um eine Option zu bewerten. Und jeder hat seine eigenen Vor-und Nachteile. Einige der grundlegenden Vorteile der Verwendung des binomialen Modells sind: Mehrperiodensicht Transparenz Fähigkeit, Wahrscheinlichkeiten zu integrieren In diesem Artikel gut erkunden die Vorteile der Verwendung des binomialen Modells anstelle der Black-Scholes, bieten einige grundlegende Schritte zur Entwicklung des Modells und Erklären, wie es verwendet wird. Mehrfachperiodenansicht Das Binomialmodell ermöglicht eine mehrperiodische Sicht auf den zugrunde liegenden Vermögenspreis sowie den Preis der Option. Im Gegensatz zum Black-Scholes-Modell, das ein numerisches Ergebnis auf der Grundlage von Eingaben zur Verfügung stellt, erlaubt das Binomialmodell die Berechnung des Assets und die Option für mehrere Perioden zusammen mit dem Bereich möglicher Ergebnisse für jede Periode (siehe unten). Der Vorteil dieser mehrperiodischen Sicht ist, dass der Benutzer die Veränderung des Anlagenpreises von Periode zu Periode visualisieren und die Option auf der Grundlage von Entscheidungen zu verschiedenen Zeitpunkten bewerten kann. Für eine amerikanische Option. Die jederzeit vor dem Verfallsdatum ausgeübt werden können. Kann das Binomialmodell Einblick in, wenn die Ausübung der Option kann attraktiv aussehen und wenn es für längere Zeit gehalten werden sollte. Durch Betrachten des Binomialbaums der Werte kann man im Voraus bestimmen, wann eine Entscheidung über die Übung auftreten kann. Wenn die Option einen positiven Wert hat, gibt es die Möglichkeit der Ausübung, während wenn sie einen Wert kleiner als Null hat, sollte sie für längere Zeit gehalten werden. Transparenz Eng verwandt mit der Mehrperiodenprüfung ist die Fähigkeit des Binomialmodells, Transparenz in den zugrunde liegenden Wert des Vermögenswertes und die Option, wie es durch die Zeit fortschreitet. Das Black-Scholes-Modell hat fünf Eingänge: Wenn diese Datenpunkte in ein Black-Scholes-Modell eingegeben werden, berechnet das Modell einen Wert für die Option, aber die Auswirkungen dieser Faktoren werden nicht periodisch aufgedeckt. Mit dem Binomialmodell sieht man die Veränderung des zugrunde liegenden Anlagenpreises von Periode zu Periode und die entsprechende Änderung des Optionspreises. Einbeziehung von Wahrscheinlichkeiten Die grundlegende Methode zur Berechnung des binomialen Optionsmodells ist, die gleiche Wahrscheinlichkeit für jede Periode für Erfolg und Misserfolg bis zum Optionsausfall zu verwenden. Jedoch kann man tatsächlich verschiedene Wahrscheinlichkeiten für jede Periode auf der Basis neuer Informationen, die als Zeitdurchläufe erhalten werden, integrieren. Beispielsweise kann es eine Wahrscheinlichkeit von 5050 geben, dass der zugrunde liegende Vermögenspreis in einer Periode um 30 erhöht oder gesenkt werden kann. Für die zweite Periode kann jedoch die Wahrscheinlichkeit, dass der zugrunde liegende Vermögenspreis steigen wird, auf 7030 ansteigen. Wir sagen, dass wir eine Ölquelle auswerten, wir sind nicht sicher, was der Wert dieses Ölbohrlochs ist, aber es gibt eine 5050 Chance, dass die Preis steigen wird. Wenn die Ölpreise in Periode 1 steigen, was das Öl noch wertvoller macht und die Marktgrundlagen jetzt auf weiter steigende Ölpreise hindeuten, kann die Wahrscheinlichkeit einer weiteren Preisaufwertung jetzt 70 betragen. Das Binomialmodell ermöglicht diese Flexibilität der Black - Scholes-Modell nicht. Entwickeln des Modells Das einfachste binomische Modell wird zwei erwartete Renditen haben. Deren Wahrscheinlichkeiten sich zu 100 addieren. In unserem Beispiel gibt es zwei mögliche Ergebnisse für die Ölquelle zu jedem Zeitpunkt. Eine komplexere Version könnte drei oder mehr verschiedene Ergebnisse haben, von denen jeder eine Wahrscheinlichkeit des Auftretens gegeben wird. Um die Renditen pro Periode ab dem Zeitpunkt Null (jetzt) zu berechnen, müssen wir eine Bestim - mung des Wertes des zugrunde liegenden Vermögenswertes ab einem Zeitpunkt vornehmen. In diesem Beispiel werden wir folgendes annehmen: Kurs des Basiswertes (P). 500 Call-Option Ausübungspreis (K). 600 Risikoloser Zinssatz für den Zeitraum: 1 Preisänderung pro Periode: 30 nach oben oder unten Der Kurs des Basiswertes beträgt 500, und in Periode 1 kann er entweder 650 oder 350 sein. Das wäre ein Gegenwert von 30 Anstieg oder Abnahme in einem Zeitraum. Da der Ausübungspreis der Call-Optionen, die wir halten, 600 beträgt, beträgt der Wert der Call-Option Null, wenn der zugrunde liegende Vermögenswert weniger als 600 beträgt. Wenn der Basiswert den Ausübungspreis von 600 übersteigt, wäre der Wert der Call-Option die Differenz zwischen dem Kurs des Basiswerts und dem Ausübungspreis. Die Formel für diese Berechnung ist max (P-K), 0. Angenommen, es gibt eine 50 Chance zu gehen und eine 50 Chance zu gehen. Anhand der Perioden 1 Werte als Beispiel berechnet dies als max (650-600, 0) 50max (350-600,0) 505050050 25. Um den aktuellen Wert der Call-Option zu erhalten, müssen wir die 25 in Periode 1 abzählen Zurück zu Periode 0, was 25 (11) 24,75 beträgt. Sie sehen nun, dass sich bei einer Änderung der Wahrscheinlichkeiten der Erwartungswert des Basiswertes ebenfalls ändert. Wenn die Wahrscheinlichkeit geändert werden soll, kann sie auch für jede nachfolgende Periode geändert werden und muss nicht immer gleich bleiben. Das Binomialmodell kann problemlos auf mehrere Perioden erweitert werden. Obwohl das Black-Scholes-Modell das Ergebnis eines verlängerten Verfalldatums berechnen kann. Das Binomialmodell erweitert die Entscheidungspunkte auf mehrere Perioden. Verwendungen für das Binomialmodell Das Binomialmodell kann nicht nur zur Berechnung des Wertes einer Option verwendet werden, sondern auch für Projekte mit hohen Unsicherheiten, Kapitalbudgets und Ressourcenallokationen sowie Projekte mit mehreren Perioden Oder eine eingebettete Option, um fortzufahren oder zu bestimmten Zeitpunkten aufzugeben. Ein einfaches Beispiel ist ein Projekt, das Bohrungen für Öl mit sich bringt. Die Unsicherheit dieser Art von Projekt ergibt sich aus der mangelnden Transparenz, ob das gebohrte Land überhaupt Öl hat, die Menge des Öls, das gebohrt werden kann, wenn Öl gefunden wird und der Preis, zu dem das Öl einmal verkauft werden kann Extrahiert. Das binomische Optionsmodell kann dabei helfen, an jedem Punkt des Ölbohrprojekts Entscheidungen zu treffen. Nehmen wir an, wir entscheiden, zu bohren, aber die Ölquelle wird nur rentabel sein, wenn wir genug Öl finden und der Ölpreis einen bestimmten Betrag übersteigt. Es dauert eine volle Zeit, um festzustellen, wie viel Öl können wir so gut wie der Ölpreis zu diesem Zeitpunkt zu extrahieren. Nach dem ersten Zeitraum (zB ein Jahr) können wir auf Basis dieser beiden Datenpunkte entscheiden, ob wir das Projekt weiter bohren oder aufgeben wollen. Diese Entscheidungen können kontinuierlich durchgeführt werden, bis ein Punkt erreicht ist, wo es keinen Wert zum Bohren gibt, zu welchem Zeitpunkt der Brunnen aufgegeben wird. The Bottom Line Das Binomialmodell ermöglicht mehrperiodische Ansichten des zugrunde liegenden Anlagenpreises und den Preis der Option für mehrere Perioden sowie die Reichweite der möglichen Ergebnisse für jede Periode und bietet eine detailliertere Ansicht. Während sowohl das Black-Scholes-Modell als auch das Binomialmodell zur Wertoptimierung herangezogen werden kann, hat das Binomialmodell einfach ein breiteres Anwendungsspektrum, ist intuitiver und einfacher zu bedienen. Binomiales Optionspreismodell Was ist das Binomial-Optionspreismodell? Binomial-Optionspreismodell ist eine im Jahr 1979 entwickelte Optionsbewertungsmethode. Das Binomial-Optionspreismodell verwendet ein iteratives Verfahren, das die Angabe von Knoten oder Zeitpunkten während der Zeitspanne zwischen dem Bewertungsdatum und dem Optionsverfalldatum ermöglicht. Das Modell reduziert die Möglichkeiten von Preisänderungen und beseitigt die Möglichkeit der Arbitrage. Ein vereinfachtes Beispiel eines Binomialbaums könnte ungefähr so aussehen: BREAKING DOWN Binomiales Optionspreismodell Das Binomial-Optionspreismodell setzt einen vollkommen effizienten Markt voraus. Unter dieser Annahme ist es in der Lage, eine mathematische Bewertung einer Option an jedem Punkt im angegebenen Zeitrahmen vorzusehen. Das binomische Modell nimmt einen risikoneutralen Ansatz zur Bewertung an und geht davon aus, dass die zugrunde liegenden Sicherheitspreise nur mit der Zeit ansteigen oder sinken können, bis die Option wertlos abläuft. Binomiales Preisbeispiel Ein vereinfachtes Beispiel für einen binomischen Baum hat nur einen Zeitschritt. Angenommen, es gibt eine Aktie, die bei 100 pro Aktie festgesetzt wird. In einem Monat wird der Kurs dieser Aktie um 10 steigen oder um 10 nach unten gehen, wodurch folgende Situation entsteht: Börsenkurs 100 Börsenkurs (nach oben) 110 Börsenkurs (Down-Zustand) 90 Als nächstes wird angenommen, dass eine Call-Option verfügbar ist Auf diesen Bestand, der in einem Monat ausläuft und einen Ausübungspreis von 100 hat. Im Aufwärtszustand ist diese Aufrufoption 10 wert, und im Down-Zustand ist sie 0 wert. Das Binomialmodell kann berechnen, was der Preis des Aufrufs ist Option sollte heute sein. Zur Vereinfachung wird davon ausgegangen, dass ein Anleger die Hälfte der Aktie kauft und eine Call-Option schreibt oder verkauft. Die Gesamtinvestition ist heute der Preis für eine halbe Aktie abzüglich des Optionspreises und die möglichen Auszahlungen am Ende des Monats: Kosten heute 50 - Optionspreis Portfoliowert 55 - max (110 - 100, 0) 45 Portfolio-Wert (Down-Zustand) 45 - max (90 - 100, 0) 45 Die Portfolio-Auszahlung ist gleich, egal wie sich der Aktienkurs bewegt. Angesichts dieses Ergebnisses, unter der Annahme keine Arbitrage-Chancen, sollte ein Investor verdienen die risikofreie Rate im Laufe des Monats. Die Kosten müssen gleich der Auszahlung sein, die mit dem risikolosen Zinssatz für einen Monat diskontiert wird. Die zu lösende Gleichung lautet also: Optionspreis 50 - 45 xe (risikofreie Rate x T), wobei e die mathematische Konstante ist 2.7183 Angenommen, der risikofreie Satz liegt bei 3 pro Jahr und T für 0,0833 (einer dividiert durch 12) ), Dann ist der Preis der Call-Option heute 5.11. Das Binomial-Optionspreismodell bietet aufgrund seiner einfachen und iterativen Struktur bestimmte einzigartige Vorteile. Da es zum Beispiel einen Strom von Bewertungen für ein Derivat für jeden Knoten in einer Zeitspanne bereitstellt, ist es für die Bewertung von Derivaten wie etwa amerikanischen Optionen nützlich. Es ist auch viel einfacher als andere Preismodelle wie das Black-Scholes-Modell. Binomiales Optionspreismodell - Derivate und Risikomanagement - Vorlesungsfolien, Folien für das Risikomanagement. Birla Institut für Technologie und Wissenschaft Suche in der Dokumentenvorschau Das Binomial-Optionspreismodell (BOPM) Wir beginnen mit einer einzigen Periode. Dann sticken wir einzelne Perioden zusammen, um das Multi-Period Binomial Option Pricing Model zu bilden. Das Multi-Period-Binomial-Optionspreismodell ist äußerst flexibel und daher wertvoll für amerikanische Optionen (die frühzeitig ausgeübt werden können) und die meisten, wenn nicht sogar alle exotischen Optionen. Annahmen des BOPM Es gibt zwei (und nur zwei) mögliche Preise für den Basiswert am nächsten Tag. Der zugrunde liegende Preis wird entweder: Erhöhung um einen Faktor von u (ein Aufwärtstrend) Abnahme um einen Faktor von d (ein Abwärtstrend) Die Unsicherheit ist, dass wir nicht wissen, welcher der beiden Preise wird Der Ein-Perioden-Zinssatz, Ist über die Lebensdauer der Option konstant. Märkte sind perfekt (keine Provisionen, Bid-Ask-Spreads, Steuern, Preisdruck, etc.) Der Stock Pricing Process Angenommen, ST-1 40, u 25 und d -10. Was sind ST, u und ST, d Zeit T ist der Ablauftag einer Anrufoption. Die Zeit T-1 ist eine Periode vor dem Verfall. Der Optionspreisprozess CT, d max (0, ST, dK) max (0, (1d) ST-1-K) (1r) B (1u) ST-1 (1r) BST, u (1r) B (1r) BST, B Setzen Sie die Auszahlungen des äquivalenten Portfolios auf CT, u und CT, d. (1r) BK, u (1d) ST-1 (1r) B CT, d Dies sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten: und B Was sind die beiden Gleichungen im Zahlenbeispiel mit ST-1 40 , U 25, d -10, r 5 und K 45 Kauf von Aktien und Leihen B. NB: ist keine Änderung in S. Es definiert die Aktien zu kaufen. Für einen Anruf, 0 lt lt 1 Wenn zwei Vermögenswerte die gleichen Auszahlungen zum Zeitpunkt T anbieten, müssen sie zum Zeitpunkt T-1 gleich gepreist werden. Hier haben wir das Problem so eingestellt, dass das äquivalente Portfolio die gleichen Auszahlungen bietet wie der Aufruf. Daher muss der Aufrufwert zum Zeitpunkt T-1 dem Betrag entsprechen, der in das äquivalente Portfolio investiert wird. Und B das Äquivalentportfolio eines Aufrufs 0 B r) d) (1 (ud) C (1u) C (1 p ist die Wahrscheinlichkeit eines Aufwärtstrends in einer risikofreien Welt, in einer risikofreien Welt (einschließlich der Lager und der Option) wird preislich die gleiche riskless Rendite zu bieten, r. In unserem Beispiel, wenn p die Wahrscheinlichkeit eines uptick ist dann ST-1 (0,428571429) (50) (0,571428571) (36) 1,05 40 Das heißt, die Aktie ist so festgesetzt, dass sie die gleiche risikofreie Rendite liefert wie die Anrufoption Dolmetschen: Delta, ist das risikolose Hedge-Verhältnis 0 lt c lt 1. Delta, ist die Anzahl von Anteilen, die benötigt werden, um einen Anruf abzusichern , Dh wenn Sie lange ein Anruf sind, können Sie Ihr Risiko durch den Verkauf von Aktien zu sichern. Deshalb ist die Anzahl der Anrufe, um eine Aktie zu hedgen ist 1. Dh, wenn Sie 100 Aktien besitzen Aktien, dann verkaufen 1 Anrufe zur Absicherung Ihrer Position Delta ist die Steigung der Linien, die in den Abbildungen 14.3 und 14.4 gezeigt sind (wobei ein Optionswert eine Funktion des Preises des zugrunde liegenden Vermögenswertes ist) In der kontinuierlichen Zeit wird das CS Two Period Binomialmodell ST-1, u (1u) ST - 2 ST, ud (1U) (1d) ST-2 Zwei Binomialmodell: Das Equivalent Portfolio0.357142857 B -12.244897960.6851312 B -24,1566014 Beachten Sie, dass als S steigt, steigt auch. Wie S ablehnt, so auch. Das äquivalente Portfolio ist Eigenfinanzierung. Dies bedeutet, dass die Kosten eines Erwerbs von Aktien (aufgrund eines Anstiegs) mit einem entsprechenden Anstieg der erforderlichen Kreditaufnahme einhergehen (B wird negativer). Jeglicher Verkauf von Anteilen (aufgrund eines Rückgangs) wird von einer entsprechenden Abnahme der erforderlichen Kreditaufnahme begleitet. Die Multi-Period BOPM Wir können Binomial-Optionspreise für eine beliebige Anzahl von Perioden finden, indem wir die folgenden fünf Schritte verwenden: (1) Erstellen Sie einen Preisbaum für den Basiswert. (2) Berechnen Sie die möglichen Optionswerte in der letzten (letzten) Periode. (3) Einrichten aller möglichen risikolosen Portfolios im vorletzten Zeitraum (neben dem letzten Zeitraum). (4) Berechnen Sie alle möglichen Optionspreise im vorletzten Zeitraum. () K ki bkhhhd Die N Period Binomialformel: Der Schlüssel ist, dass an jedem Knoten des Gitters der Wert eines amerikanischen Aufrufs lautet: Wenn der erste Term in den Klammern kleiner als der intrinsische Wert der Aufrufe ist, müssen Sie stattdessen den Wert eingeben Sie gleich ihrem intrinsischen Wert. Wenn der in der nächsten Periode gezahlte Dividendenbetrag K-PV (K) übersteigt, sollte der amerikanische Aufruf frühzeitig an diesem Knoten ausgeübt werden. Binomial-Put-Preis - I ST, u (1u) ST-1 ST-1 ST, d (1d) ST-1 PT, u max (0, K-ST, (1r) B ST, u (1r) B PT, u ST-1 (1r) (1r) B (1d) P (1r) B (d) (1r) B (d) (1r) Kann durch den Verkauf von Aktien kurzfristig repliziert werden, und die Kredite B. und B ändern sich mit der Zeit und mit dem S-Wechsel, so dass das äquivalente Portefeuille im Laufe der Zeit angepasst werden muss (Binomial Put Pricing) p) P (1PPS, KmaxP du auf einem beliebigen Knoten, wenn der zweite Term in den Klammern ist kleiner als der amerikanische inneren Wert legt, dann legen Wert auf die Put-stattdessen ihren inneren Wert entsprechen. amerikanischen Puts kann nicht für weniger verkaufen, als ihrem inneren Wert. . Der amerikanische Put wird Anfang an diesem Knoten binomiale Put Pricing Beispiel ausgeübt - I The Stock Pricing-Prozess: u 10 d -5 r 2 K 65 p 0,466667 binomiale Put Preisbeispiel - II 1,485924 0 3,9776 2,84183 6,306976 5,435 9,57549 europäischen Put Werte: Binomial Put Preisbeispiel - III0.0 B ,0-,2870535 B 20.431458-0.5356724-0.5778841 B 36,117946 B 39,075163-,7875626 B 51,198042-1,0 B 63,72549 Zusammensetzung des Ersatzportfolio der europäischen Verkaufs: Binomial Put Preisbeispiel - IV 0 4,86284 2,84183 5 American put Preise: Wenn Gl. 17,25 ergibt sich eine Menge von weniger als der puts inneren Wert, dann die Amerikaner Wert gelegt wird KS (fett dargestellt), und es sollte Übung early. Lecture 8 Binomial Option Pricing Model Anwenderbeschreibung sein: Vorlesung 8 Binomial-Optionspreismodell Replizieren Portfoliobewertung: Derivative Vermögenswerte sind in der Tat überflüssig. Selbst wenn Derivate nicht existieren, könnten wir sie künstlich nur aus den zugrunde liegenden Vermögenswerten neu erstellen. Betrachten Sie Put-Call-Parität Ein Arbitrage-Free-Wert: Diese Fähigkeit, die Auszahlung zu einem Derivat-Sicherheit unter Verwendung von Portfolios der zugrunde liegenden Vermögenswerte und Anleihen zu replizieren ist der Schlüssel zu Arbitrage-freie Bewertung. Der Arbitrage-freie Preis eines Derivats wird durch die aktuellen Preise der Aktien und Anleihen und die Existenz einer Replikationsstrategie durchgesetzt. Replizierendes Portfolio Bewertung der Call-Option: Wesentliche Einsicht von BS (1973) war zu zeigen, wie man eine europäische Call-Option mit den Replikations-Portfolio-Methoden Preis. Ein Portfolio von Aktien und Anleihen kann die Option Auszahlung replizieren. Daher muss der Optionspreis den Baukosten des replizierenden Portfolios entsprechen. BS entwickelte den Arbitrage-freien Preis in einem kontinuierlichen Rahmen. BINOMIAL OPTION PREIS: Binomial-Modell ist eine einfache, aber extrem leistungsstarke Dieser Student studierte:
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